接線が座標軸間で接点を2等分する曲線の求め方と解法例

高校数学の微分を用いた曲線の問題では、接線の性質をもとに曲線を求めることがあります。今回は、接線の座標軸間における部分が接点で2等分されるという性質を持つ曲線の求め方について、手順と具体例を解説します。

問題の理解

接線が座標軸との交点を接点で2等分するとは、接線がx軸とy軸に交わる部分の中点が接点になることを意味します。接線の方程式を考える際には、傾きとy切片、x切片の関係を用います。

曲線 y = f(x) 上の点 (x_0, y_0) での接線は、y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0) で表されます。

この接線のx切片とy切片をそれぞれX, Yとすると、X = x_0 – y_0/f'(x_0), Y = y_0 – f'(x_0)x_0 となります。

接線の座標軸間の部分が接点で2等分される条件より、中点 ((X + 0)/2, (0 + Y)/2) が接点 (x_0, y_0) に一致する必要があります。

これを式にすると、x_0 = X/2, y_0 = Y/2 となり、f'(x_0) と f(x_0) の関係を求める方程式が得られます。

上の条件から f'(x) = 2f(x)/x という微分方程式が導かれます。

この微分方程式を解くと、f(x) = k x^2 という形の関数が得られます。k は定数です。

例えば k = 1 とすると、曲線は y = x^2 になります。任意の点 (x_0, x_0^2) における接線の座標軸との交点は、接点でちょうど2等分されることを確認できます。

グラフを描く際には、曲線 y = k x^2 と接線をプロットして、交点と中点が一致することを視覚的に確認すると理解が深まります。

接線が座標軸間で接点を2等分する曲線は、条件式から微分方程式を立てることで求められます。結果として得られる曲線は y = k x^2 の形になり、k は定数です。この手順を理解することで、接線の性質を用いた曲線問題を解く際の基本的な考え方が身につきます。

詳しい解法や図解例は、こちらの記事で確認できます。