数学III：f'(x)=0を満たすxの存在を平均値の定理とロルの定理で証明する方法

数学IIIで、関数の微分について「f'(x)=0」を満たすxが存在するかどうかを調べる問題があります。この問題を解く際に、平均値の定理やロルの定理を使うことができます。この記事では、平均値の定理とロルの定理を使って、2つの関数の問題に対するアプローチ方法を解説します。

平均値の定理とロルの定理の復習

平均値の定理（Mean Value Theorem）は、連続で微分可能な区間[a, b]において、少なくとも1点cが存在し、その点での接線の傾きが、区間[a, b]の端点での関数値の増加量をその区間の長さで割ったものと等しいと述べています。

ロルの定理（Rolle’s Theorem）は、平均値の定理の特別な場合で、関数の端点での値が等しい場合に、少なくとも1点cでf'(c) = 0が成り立つことを保証します。つまり、区間[a, b]で関数の値が同じなら、区間内に接線の傾きが0になる点が必ず存在するというものです。

関数f(x) = xcos(x)について、f'(x) = 0を満たすxが存在するかを調べます。この関数は、区間[0, π/2]で連続かつ微分可能です。まず、f(x)の微分を求めます。

f'(x) = cos(x) – xsin(x)です。この式が0になる点を求めます。f'(x) = 0の解を求めると、x = 0とx = π/2の間に少なくとも1点でf'(x) = 0を満たす点が存在します。

次に、関数f(x) = 1 – |x – 2|について、f'(x) = 0が存在するかを調べます。この関数は、区間[1, 3]で定義されています。まず、この関数の微分を計算します。

f'(x) = -1（x > 2）およびf'(x) = 1（x < 2）です。この関数はx = 2で連続ですが、x = 2で微分不可能です。そのため、この点でf'(x) = 0は成り立ちません。

ロルの定理を使うことはできますが、今回の問題ではロルの定理は適用できません。ロルの定理は、関数の端点で値が等しい場合に適用されますが、問題2のf(x) = 1 – |x – 2|では、f(x)がx = 1とx = 3で異なる値を取るため、ロルの定理は使えません。

一方、平均値の定理を使うことで、区間内で微分可能な点での解を見つけることができます。

平均値の定理やロルの定理を使うことで、関数の微分が0になる点を調べることができます。問題1では、f'(x) = 0を満たす点が存在することが確認でき、問題2ではロルの定理が適用できないことがわかります。ロルの定理は特定の条件下で有効な定理であり、平均値の定理と使い分けることが大切です。