数学において、連続性を調べるために極限を用いることは基本的な手法です。特に、関数がある点で連続かどうかを調べる際、lim(x→0)f(x)とf(0)の比較だけで済ませていいのか、それとも左右の極限を求める必要があるのかについて疑問を持つ方も多いでしょう。この記事では、その疑問に対して明確に解説します。
連続性の定義と極限の重要性
関数がある点で連続であるための条件は、次の三つです。
- f(a)が定義されている。
- lim(x→a)f(x)が存在する。
- lim(x→a)f(x) = f(a)である。
この条件を満たしていれば、関数f(x)は点x=aで連続であると言います。ここで注意すべきは、lim(x→a)f(x)が存在しなければならないということです。この点について、lim(x→0)f(x)を求める際に、左右の極限（lim(x→+0)f(x)とlim(x→−0)f(x)）を求める必要があるのかについて詳しく解説します。
lim(x→0)f(x)の左右の極限を求める必要はあるか？
f(x)がx=0で連続かどうかを調べるとき、lim(x→0)f(x)の値を求めることが基本ですが、これは両側からの極限が一致することを前提としています。したがって、lim(x→0)f(x)が存在するためには、lim(x→+0)f(x)とlim(x→−0)f(x)が両方とも同じ値でなければなりません。
もし、この左右の極限が一致しなければ、lim(x→0)f(x)は存在しないことになります。よって、実際に連続性を確認する場合には、lim(x→+0)とlim(x→−0)の両方を求めて、その一致を確認する必要があります。
参考書の解法方法とその理解
参考書に記載された解答で、lim(x→0)f(x) = 0, f(0) = 0から連続性が示された場合、これはlim(x→0)f(x)の左右の極限が一致し、かつf(0)も0であることが前提となっています。つまり、仮にlim(x→0)f(x) = 0が示されている場合でも、左右の極限が一致しているかを事前に確認することが重要です。
解答では、lim(x→0)f(x)が0であり、f(0)も0であることが確認できれば、連続性が保たれていると判断できますが、どちらか一方でも異なる場合には再度確認を行う必要があります。
具体例での確認方法
例えば、f(x) = x^2の場合、lim(x→0)x^2 = 0であり、f(0)も0です。この場合、lim(x→+0)x^2 = lim(x→−0)x^2 = 0となり、連続性が保たれているといえます。しかし、もしf(x) = 1/xのような関数であれば、左右の極限が一致せず、x=0で連続ではないことがわかります。
まとめ
連続性を調べる際には、lim(x→0)f(x)が存在するだけでなく、左右の極限が一致することも重要な要素です。参考書などで解答を見る際は、左右の極限が一致しているかどうかを確認することを忘れないようにしましょう。この確認がなければ、正確な連続性の判断はできません。
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