円柱と半球からなる立体の回転体の体積の求め方

この問題では、半径3、高さ13の円柱の上に同じ半径の半球を乗せ、その立体を回転させてできる回転体の体積を求めます。回転体の体積を求めるためには、円柱と半球の体積をそれぞれ求め、その合計を求める方法を使います。次にその計算方法について詳しく解説します。

円柱の体積の求め方

円柱の体積は、円の底面積と高さを掛け合わせて求めます。円の面積は半径rを使ってπr²で求められます。したがって、円柱の体積V₁は次のように求められます。

V₁ = π × r² × h

ここで、r = 3（半径）、h = 13（高さ）ですので、円柱の体積は。

V₁ = π × 3² × 13 = π × 9 × 13 = 117π

次に、半球の体積を求めます。半球の体積は、球の体積の半分です。球の体積V = (4/3)πr³で求められるため、半球の体積V₂は次のように求められます。

V₂ = (1/2) × (4/3)πr³ = (2/3)πr³

ここで、r = 3（半径）ですので、半球の体積は。

V₂ = (2/3)π × 3³ = (2/3)π × 27 = 18π

円柱と半球を合わせた回転体の体積は、円柱の体積と半球の体積を足し合わせることで求められます。

V = V₁ + V₂ = 117π + 18π = 135π

問題では体積の答えを有理化するように指示されていますが、πを含む答えはすでに有理化されている状態です。そのため、答えは135π m³となります。

円柱と半球を組み合わせた立体の回転体の体積は、円柱と半球の体積をそれぞれ求めて足し合わせることで求められます。この問題では、円柱の体積が117π、半球の体積が18π、最終的に回転体の体積は135π立方メートルとなります。回転体の体積を求める際には、このように分けて計算を行うとスムーズに解けます。