数学の問題でよく出てくる不等式の解法について、今回は「kx² + (k+1)x + k ≦ 0 がすべての実数 x に対して成り立つような定数 k の範囲を求めよ」という問題を解説します。この問題では、不等式が成立するための条件を見つけるために、二次関数の性質を利用します。
不等式の整理
まず、与えられた不等式を整理します。
kx² + (k+1)x + k ≦ 0 という不等式を考えます。これは二次方程式の形をしており、k が定数で、x に関する式です。ここで重要なのは、この不等式がすべての実数 x に対して成り立つためには、二次関数のグラフが x 軸より下に位置する必要があるという点です。
二次関数の判別式
二次関数のグラフが x 軸より下にあるための条件は、判別式が負であることです。判別式 D は、ax² + bx + c の形の二次方程式において、D = b² – 4ac と定義されます。
この場合、a = k, b = k+1, c = k なので、判別式 D は次のように求められます。
D = (k+1)² – 4(k)(k)
これを計算すると。
D = (k² + 2k + 1) – 4k² = -3k² + 2k + 1
判別式が負であるための条件
不等式が成り立つためには、判別式 D が負でなければなりません。すなわち、次の不等式が成り立つ必要があります。
-3k² + 2k + 1 < 0
この二次不等式を解いて k の範囲を求めます。まず、-3k² + 2k + 1 = 0 の解を求めます。
解の公式を使うと。
k = [-2 ± √(2² – 4(-3)(1))] / 2(-3) = [-2 ± √(4 + 12)] / (-6) = [-2 ± √16] / (-6)
k = [-2 ± 4] / (-6)
よって、k = (2 – 4) / (-6) = 1/3 または k = (2 + 4) / (-6) = -1
したがって、k の範囲は、-1 < k < 1/3 となります。
まとめ
不等式 kx² + (k+1)x + k ≦ 0 がすべての実数 x に対して成り立つためには、定数 k の範囲は -1 < k < 1/3 である必要があります。このように、二次関数の判別式を使って不等式が成り立つ範囲を求めることができました。
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