f(x) = x^2 + a と f(f(x)) = x の解の個数を求める方法

「f(x) = x^2 + a」と「f(f(x)) = x」という二つの式に関して、異なる実数解の個数が2つになる定数aの範囲を求める問題です。この問題は、因数分解やグラフを使って解こうとすることができますが、うまく解けない場合もあります。この記事では、解法の手順をわかりやすく説明します。

問題の式を整理する

まず、「f(x) = x^2 + a」と「f(f(x)) = x」を整理しましょう。f(x) = x^2 + a の式を代入して、f(f(x))を展開します。

f(f(x))を計算すると、f(f(x)) = f(x^2 + a) となり、f(x^2 + a) = (x^2 + a)^2 + a です。これを元の式に代入して、(x^2 + a)^2 + a = x を解くことになります。

この式を整理していくと、四次方程式になります。これを解くためには、まず両辺を展開して二次式に変換します。

展開した式を解くことで、解の個数を求めることができます。解の個数が2つになる条件を満たすaの範囲を見つけることが、この問題の鍵となります。

また、グラフを使って解の個数を視覚的に確認することも有効です。y = f(x) = x^2 + a のグラフを描き、y = x の直線と交わる点を調べることで、解の個数が2つになる条件を見つけることができます。交点の数が2つであるためのaの範囲をグラフから読み取ると、答えが導かれます。

計算とグラフによるアプローチを通じて、定数aの取りうる範囲は-3/4 <= a < 1/4 であることがわかります。この範囲で、f(f(x)) = x の異なる実数解が2つになることが確認できます。

この問題は、因数分解やグラフを使って解を求める練習に最適な問題です。解法をしっかりと理解することで、同様の問題に対して自信を持って取り組めるようになります。