不等式a² + b² ≧ abの証明とその理解の仕方

不等式の証明において、a² + b² ≧ abが成り立つ理由を理解することは重要です。この記事では、証明の過程と、特に (a – b/2)² + 3b²/4 がなぜ0以上であるかの理解に焦点を当て、詳細に解説します。

不等式a² + b² ≧ abの証明

まず、不等式a² + b² ≧ abの左辺と右辺の差を考えます。a² + b² – abを展開すると、次のように書き換えることができます。

左辺 – 右辺 = a² – ab + b² = (a – b/2)² – b²/4 + b² = (a – b/2)² + 3b²/4

ここで重要なのは、(a – b/2)² + 3b²/4の部分です。この式がなぜ0以上であるかを詳しく見ていきましょう。

(a – b/2)²は常に0以上です。これは、二乗した数は必ず非負であるためです。さらに、3b²/4もb²の符号に依存せず、bが実数であれば必ず0以上になります。

したがって、(a – b/2)² + 3b²/4は2つの非負数の和であり、必ず0以上になります。このことが、a² + b² ≧ abが成り立つ理由となります。

例えば、a = 3、b = 4の場合を考えます。まず、左辺はa² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25、右辺はab = 3 * 4 = 12です。

差を求めると、25 – 12 = 13となり、(a – b/2)² + 3b²/4を計算すると、(3 – 4/2)² + 3*4²/4 = (3 – 2)² + 3*16/4 = 1² + 12 = 1 + 12 = 13となり、これは0以上です。実際に数値を代入して証明すると、理解が深まります。

不等式a² + b² ≧ abは、(a – b/2)² + 3b²/4という式の計算によって証明できます。(a – b/2)²は常に0以上であり、3b²/4も0以上なので、その和である(a – b/2)² + 3b²/4も必ず0以上になります。これにより、不等式が成り立つことが証明されます。