「(2x – y)⁷」のような式におけるx²y⁵の係数を求める方法を理解するためには、二項定理の使い方を知ることが重要です。この記事では、二項定理を用いて、どのようにしてx²y⁵の係数を求めるのか、またその計算方法についてわかりやすく解説します。
二項定理とは？
二項定理は、(a + b)ⁿの形の式を展開するための公式です。この定理を使うことで、aとbの項がn回掛け合わさった式を展開することができます。具体的には、次のように表されます。
(a + b)^n = Σ(k=0 to n) (nCk) * a^(n-k) * b^k
ここで、nCkは「nのk個の組み合わせ」を示し、a^(n-k)とb^kはaとbの累乗です。これを用いて、(2x – y)⁷の展開を行います。
式(2x – y)⁷の展開
まず、(2x – y)⁷を二項定理で展開します。ここで、a = 2x、b = -y、n = 7です。二項定理を適用すると、以下のように展開できます。
(2x - y)⁷ = Σ(k=0 to 7) (7Ck) * (2x)^(7-k) * (-y)^k
この式を展開すると、(2x – y)⁷の各項が得られます。ここで、x²y⁵の係数を求めるには、xの累乗が2、yの累乗が5である項を探します。
x²y⁵の項を特定する
x²y⁵の項は、(2x)^(7-k)と(-y)^kの乗積から得られます。まず、(2x)^(7-k)の部分でx²を得るためには、(7-k) = 2となる必要があります。したがって、k = 5となります。
次に、(-y)^kでy⁵を得るために、k = 5を確認すると、この条件に一致します。したがって、x²y⁵の項は、k = 5のときに得られます。
係数の計算
k = 5のときの項を計算します。まず、(7C5)を計算します。
7C5 = 7! / (5!(7-5)!) = 7! / (5!2!) = 21
次に、(2x)^(7-5)と(-y)^5を計算します。
(2x)^(7-5) = (2x)² = 4x²
(-y)^5 = (-1)⁵ * y⁵ = -y⁵
したがって、x²y⁵の項の係数は次のように計算できます。
21 * 4 * (-1) = -84
よって、x²y⁵の係数は-84となります。
まとめ
「(2x – y)⁷」のx²y⁵の係数を求めるためには、二項定理を用いて式を展開し、必要な項を特定して計算する方法が必要です。今回の例では、k = 5のときにx²y⁵の項が得られ、その係数は-84であることが分かりました。二項定理を使いこなすことで、複雑な式の展開も簡単に行うことができます。
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