この記事では、2次関数 f(x) = x² – 4ax + 6a のグラフに関する問題について、具体的に解法を解説します。特に、頂点の求め方、x軸との共有点を持つ条件、最大値・最小値を求める方法を詳しく説明します。
2次関数の頂点を求める方法
まず、関数 f(x) = x² – 4ax + 6a の頂点を求めます。2次関数の頂点は、一般的に f(x) = ax² + bx + c の形の関数の場合、x = -b / 2a で求められます。ここでは、a = 1, b = -4a, c = 6a ですので、頂点のx座標は x = -(-4a) / (2 * 1) = 2a となります。
次に、y座標を求めます。x = 2a を f(x) に代入すると、y = (2a)² – 4a(2a) + 6a = 4a² – 8a² + 6a = -4a² + 6a となります。したがって、頂点の座標は (2a, -4a² + 6a) です。
x軸との共有点の条件
次に、2次関数 y = f(x) のグラフが x軸と共有点を持つ条件を求めます。x軸と共有点を持つためには、y = 0 となる解が存在する必要があります。したがって、方程式 f(x) = 0 を解く必要があります。
f(x) = 0 は x² – 4ax + 6a = 0 となります。この2次方程式の判別式 D = b² – 4ac を求めると、D = (-4a)² – 4(1)(6a) = 16a² – 24a です。この判別式が非負であることが、グラフが x軸と共有点を持つ条件となります。すなわち、D ≥ 0 となるように a の範囲を求めます。
16a² – 24a ≥ 0 となるように、a の範囲を求めると、a ≧ 3/2 という条件が得られます。
関数 f(x) の最大値と最小値
次に、0 ≦ x ≦ 2a + 3 の範囲で関数 f(x) の最大値 M と最小値 m を求めます。この範囲で最大値と最小値を求めるためには、f(x) の式の変化を調べる必要があります。
まず、関数 f(x) の微分 f'(x) を求めて、極値を調べます。f'(x) = 2x – 4a となり、これが 0 になる x は x = 2a です。次に、f(x) の値を x = 2a + 3 の点で評価し、最大値と最小値を求めます。
具体的な計算例
ここで、m = -10 のときの a を求める方法を示します。m は最小値を示すため、x = 0 のときの f(x) の値を求めます。m = f(0) = 0² – 4a(0) + 6a = 6a となり、m = -10 のとき 6a = -10 から a = 5/2 が得られます。
次に、|M| – |m| = 4 のときの a を求める方法についても解説します。最大値 M と最小値 m の絶対値の差が 4 になる条件を満たす a を求めます。この条件を満たす a は a ≧ 3/2 の範囲で得られます。
まとめ: 2次関数のグラフの解析方法
2次関数 f(x) = x² – 4ax + 6a のグラフの頂点、x軸との共有点、最大値・最小値を求める方法について解説しました。特に、a の範囲を求めることで、関数の性質を理解し、問題を解決することができます。
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