関数の平行移動：y=3x^2-6x+1からy=3x^2+12x+11へ

関数の平行移動は、数式を変形することでそのグラフの位置をずらす操作です。この質問では、y=3x^2-6x+1という関数がy=3x^2+12x+11に変化するために、y軸とx軸にどれだけ平行移動させれば良いかを求めています。この記事では、平行移動の方法と計算過程を詳しく解説します。

関数の平行移動とは？

関数の平行移動は、関数のグラフをxy軸に対して平行にずらす操作です。y軸方向の平行移動は関数の定数項を加減することで、x軸方向の平行移動はxの変数に定数を加えることで実現します。この移動を理解するために、まずは関数の変形を見ていきましょう。

元の関数はy=3x^2-6x+1で、目標の関数はy=3x^2+12x+11です。まずは、この2つの関数の違いを確認しましょう。両方の関数にはx^2の項があり、係数も3で共通です。違いは、xの1次の項（-6xと+12x）と定数項（+1と+11）です。

したがって、x軸方向の平行移動とy軸方向の平行移動の組み合わせによって、この2つの関数を一致させる必要があります。

まず、y軸方向の平行移動を考えます。定数項が1から11に変わっているので、この分だけy軸方向に平行移動があったことがわかります。すなわち、y軸方向に+10だけ移動させる必要があります。

次に、x軸方向の平行移動を考えます。元の関数には-6xの項があり、目標の関数には+12xの項があります。xの係数が+12になるためには、xの中身を適切に変形する必要があります。

まず、xの項を整理するために、平方完成を使います。元の関数y=3x^2-6x+1を平方完成すると、(x-1)^2の形になります。この平方完成によって、x軸方向には1単位の平行移動が必要だとわかります。

元の関数y=3x^2-6x+1からy=3x^2+12x+11に変化するためには、y軸方向に+10だけ移動させ、x軸方向に+1だけ平行移動させる必要があります。これにより、2つの関数が一致します。関数の平行移動を理解することで、数学の問題を効率よく解くことができます。