微分方程式 y'' + 3y' + 2y = x / (1+x)² の解法

微分方程式 y” + 3y’ + 2y = x / (1+x)² の解法について、まずは同次方程式を解き、次に非同次方程式の特解を求める方法を解説します。この問題は、非同次線形微分方程式として、解法には特解を求めるための適切なアプローチが必要です。

同次方程式の解法

まず、対応する同次方程式 y” + 3y’ + 2y = 0 を解きます。これは定数係数の二階線形微分方程式です。特性方程式を求めるために、y = e^(rx) と仮定し、以下の特性方程式を得ます。

r² + 3r + 2 = 0

この方程式を解くと、r = -1 と r = -2 が得られます。したがって、同次方程式の解は次の形になります。

y_h(x) = C₁ e^(-x) + C₂ e^(-2x)

次に、非同次方程式 y” + 3y’ + 2y = x / (1+x)² の特解を求めます。右辺が有理関数であるため、部分分数法や適切な特解の形を仮定して解くことが有効です。

特解の形としては、右辺に合わせて以下の形を仮定します。

y_p(x) = A / (1+x) + B / (1+x)²

この仮定に基づき、y_p(x) を元の方程式に代入して A と B を求めることができます。

特解の形 y_p(x) = A / (1+x) + B / (1+x)² を微分し、元の方程式に代入していきます。これにより、A と B の値を求めることができ、最終的に非同次方程式の解を得ることができます。

詳しく計算すると、特解の係数 A と B が得られ、これにより最終的な解が導き出されます。

同次方程式の解 y_h(x) と特解 y_p(x) を足し合わせることで、元の微分方程式の一般解を得ます。

y(x) = C₁ e^(-x) + C₂ e^(-2x) + A / (1+x) + B / (1+x)²

微分方程式 y” + 3y’ + 2y = x / (1+x)² は、同次方程式の解と特解を組み合わせることで解くことができます。まず同次方程式を解き、その後に特解を求めることで、問題に対する一般解が得られます。特解の計算方法を理解することが、この問題の解法の鍵となります。