交点を求める問題: y = ax と y = -x² + 8x の交点範囲の求め方

y = ax と y = -x² + 8x の交点を求める問題では、指定された条件（x > 0、y > 0）を考慮しつつ、解の範囲を特定する必要があります。この記事では、どのようにしてaの範囲を求めるか、そして実際に解く過程で注意すべき点を説明します。

問題の式と解法のアプローチ

まず、与えられた式を見てみましょう。式①は y = ax、式②は y = -x² + 8x です。これらの式が交わる点を求めるために、①の式を②に代入します。すると、新しい関数f(x)が得られ、f(x) = -x² + (8 – a)x という式になります。

ここで、f(x) が異なる2つの実数解を持つ範囲を求めます。具体的には、f(x) の判別式を使って、解の有無とその範囲を決定します。

f(x) = -x² + (8 – a)x の解が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 Δ > 0 である必要があります。判別式は、次の式で計算できます。

Δ = (8 – a)² – 4×(-1)×0 = (8 – a)²

この判別式が0より大きい（Δ > 0）とき、異なる2つの実数解が存在します。

判別式から次の条件が得られます。

(8 – a)² > 0

この不等式は、a ≠ 8 という条件を示しています。したがって、aの範囲はa ≠ 8 であることが求められます。

しかし、この解ではx > 0、y > 0 という条件を考慮する必要があります。

次に、x > 0 および y > 0 の条件に基づいて、交点が存在する範囲を絞り込みます。x > 0 の条件により、解の位置が右半平面に限定され、y > 0 の条件により、交点のy座標が正でなければなりません。

したがって、aの範囲は a > 8 とすることで、x > 0 および y > 0 の条件を満たす交点が得られることが分かります。

y = ax と y = -x² + 8x の交点が存在するaの範囲は、a > 8 であり、この範囲で交点が2つ存在することが確認できます。a ≠ 8 の条件は判別式から得られ、x > 0, y > 0 の条件を考慮することで、最終的にa > 8 という結果になります。