このページでは、関数 f(x) = x³ – 3a²x (0 <= x <= 1) における最小値と最大値の求め方について解説します。
問題の確認
関数 f(x) = x³ – 3a²x が与えられています。ここで、a > 0 で、x は 0 ≦ x ≦ 1 の範囲で定義されています。
最小値と最大値を求めるために、まずはこの関数を微分して、その導関数を使って重要な点を特定します。
最小値の求め方
関数 f(x) の最小値を求めるためには、まず f(x) を x で微分します。
f'(x) = 3x² – 3a² となります。この導関数を 0 に設定して、x の値を求めます。
f'(x) = 0 のとき、3x² – 3a² = 0 となり、x² = a² です。これより x = a となります。
次に、この解が最小値を与えるかどうかを確認するために、x = a における2階微分を確認します。2階微分は f”(x) = 6x となります。
x = a のとき、f”(a) = 6a となります。a > 0 であるため、f”(a) > 0 となり、この点は最小値を与えることがわかります。
したがって、最小値は x = a で取得されます。
最大値の求め方
最大値を求めるためには、与えられた範囲 0 ≦ x ≦ 1 における関数の値を調べます。
f(x) を x = 0 と x = 1 で評価します。
f(0) = 0³ – 3a² * 0 = 0
f(1) = 1³ – 3a² * 1 = 1 – 3a²
ここで、f(1) が最大値を与えるかどうかを確認します。最小値の場合と同じように、x = 1 での値が最大値であるか、f'(x) を使って確認してみてください。
まとめ
この関数の場合、最小値は x = a のときに得られ、最大値は範囲内で f(1) となることがわかります。微分を使った方法で最小値と最大値を求めることができました。微分の基礎をしっかり理解して、今後の問題にも役立てていきましょう。
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