3^2025を80で割った余りの求め方

「3^2025を80で割った余りはいくつか？」という問題に挑戦しましょう。このような大きな指数の計算では、直接計算するのが難しいため、数学的な手法を使って効率よく解く方法を紹介します。

問題の理解とアプローチ

まず、3^2025という非常に大きな数を80で割った余りを求める問題です。通常、こうした問題は、数論や合同式を使って計算を簡単にします。合同式を使えば、直接計算することなく余りを求めることができます。

この問題を解くには、まず「3の累乗の周期性」について考えることが重要です。

合同式を使って計算するには、まず小さな累乗から順番に余りを求めてみましょう。次のように計算を進めます。

3^1 mod 80 = 3
3^2 mod 80 = 9
3^3 mod 80 = 27
3^4 mod 80 = 81 ≡ 1 (mod 80)

ここで、3^4 ≡ 1 (mod 80) が成り立つことがわかります。つまり、3の4乗ごとに余りが繰り返し始めるので、2025を4で割った余りを使って計算できます。

2025を4で割った余りを求めましょう。2025 ÷ 4 = 506 あまり 1 です。

したがって、3^2025 ≡ 3^1 (mod 80) となります。

ここまでの計算から、3^2025を80で割った余りは、3^1を80で割った余りと等しいことがわかります。したがって、3^2025を80で割った余りは、3となります。

3^2025を80で割った余りを求める問題は、合同式を使って周期性を見つけることで簡単に解けます。最終的に、3^2025 ≡ 3 (mod 80) となり、余りは「3」です。このように、大きな指数の計算では数学的な手法を活用することで、効率よく解答を得ることができます。