tan(π/2)が定義されない理由：代数的・幾何学的視点からの解説

三角関数の一つであるtanθは、tanθ＝sinθ/cosθという式で定義されますが、特にθ＝π/2の時にtan(π/2)がどのように扱われるかについて理解することが重要です。本記事では、代数的および幾何学的な視点から、tan(π/2)がなぜ定義されないのかを詳しく解説します。

tan(θ)の定義とその性質

tanθは、sinθとcosθを使って定義されます。つまり、tanθ＝sinθ/cosθです。しかし、この式で重要なのは、cosθが0になるとtanθが定義できなくなることです。なぜなら、0で割ることはできないためです。

θ＝π/2のとき、cos(π/2)は0となります。そのため、tan(π/2)＝sin(π/2)/cos(π/2)となると、分母が0になり、結果として計算ができません。このため、tan(π/2)は数学的に定義されないのです。

代数的に考えると、tan(π/2)をsin(π/2) / cos(π/2)という式で表現した場合、cos(π/2)が0であるため、結果として「1/0」になります。これは数学的に定義されていない式であり、無限大を意味することはありますが、厳密には定義されません。

このように、tan(π/2)は数値として存在しないため、代数的には無意味な値となります。

幾何学的には、単位円を用いてtan(θ)を説明できます。単位円上で、角度θに対応する点P(x, y)を考えたとき、tanθは点Pのy座標（sinθ）とx座標（cosθ）の比として求められます。

θ＝π/2のとき、対応する点Pは(0, 1)となり、x座標は0です。したがって、tan(π/2)はy座標/x座標、すなわち「1/0」となります。これはx＝0の直線に対して、tan(π/2)の値が無限大に近づくことを示していますが、厳密に言えば定義されません。

tan(π/2)が定義されない理由は、代数的には0で割ることができないため、また幾何学的には、対応する直線がx軸に平行であり、交点が存在しないためです。これらの理由から、tan(π/2)は代数的にも幾何学的にも定義されない値であることが理解できます。