数Bの漸化式の解法：Cnの一般項の求め方

この問題では、数列(Cn)が漸化式を満たすとき、その一般項を求める問題です。漸化式は、前の項に基づいて次の項を求める方法であり、このタイプの問題では、数列のパターンを見つけることが重要です。

1. 漸化式の理解

問題文で与えられている漸化式は、次のような形です。

C₁ = 5、 Cₙ₊₁ = -2Cₙ + 6

これは、次の項Cₙ₊₁が、前の項Cₙに基づいて計算されるという関係式です。漸化式を解くには、まず最初の項と規則性を理解する必要があります。

漸化式を解くためには、まず与えられた式の形を整理し、一般項を導き出す必要があります。この問題のように、数列が等比数列に近い形になることが多いため、定常解を考えた後、差分を取る方法を使って解くことが一般的です。

具体的には、次のような手順を踏みます。

まず、この漸化式に対して一般的な方法で解くために、定常解を求めます。定常解は、Cₙ₊₁ = Cₙとなる場合の解です。このとき、Cₙ₊₁ = Cₙとおくと、式は次のようになります。

C = -2C + 6

これを解くと、C = 2という定常解が得られます。

次に、特解を求めるために、Cₙの一般的な形を仮定します。ここでは、Cₙ = A(-2)ⁿ + 2という形を仮定して解を求めます。最終的に、Aの値を求め、Cₙの一般項を導き出します。

一般項は、次のように求められます。

Cₙ = 7(-2)ⁿ + 2

これが与えられた漸化式に従う数列の一般項です。この形に当てはめることで、Cₙの値を簡単に求めることができます。

漸化式の問題では、まず定常解を求め、その後に特解を導くことで一般項を求めることができます。この方法を使うことで、複雑な漸化式でも解くことができ、数列の理解が深まります。漸化式を使った問題を解くためには、この基本的な手法を覚えておくことが非常に重要です。