この記事では、高校2年生向けの数学問題に焦点を当て、媒介変数表示による曲線の接線の問題と、囲まれた面積の求め方について解説します。問題に出てくる「x＝e^－θcosθ、y＝e^－θsinθ」という曲線Cに関連する問題の解き方を学びます。
媒介変数表示と曲線C
まず、与えられた媒介変数表示を復習しましょう。x = e^−θ cosθ、y = e^−θ sinθ という式は、θが0からπ/2までの範囲で変化することで、xy平面上に曲線Cが描かれます。この曲線C上の点は、θの値に依存して位置が決まります。
曲線Cは、特にθの値が変わることによって、指数関数的に減衰するパターンを持つため、直感的にどういう形をしているかを予測できます。このような曲線における接線の性質を求めることが次のステップです。
（1）点Aの座標を求める
点Aでは接線がx軸と平行である必要があります。接線がx軸と平行であるということは、接線の傾きが0であることを意味します。接線の傾きは、曲線上の点でのdy/dx（yのxに対する微分）で与えられます。
まず、xとyをθに関して微分します。x = e^−θ cosθ、y = e^−θ sinθ について、それぞれ微分すると。
- dx/dθ = −e^−θ cosθ − e^−θ sinθ
- dy/dθ = −e^−θ sinθ + e^−θ cosθ
次に、dy/dxを求めるためには、dy/dθとdx/dθを使って以下のように計算します。
dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ)
ここで、dy/dxが0になるθの値を求め、そのθの値を使って点Aの座標を求めることができます。
（2）曲線Cとx軸および直線OAで囲まれる面積S
曲線Cとx軸、および直線OAで囲まれる面積Sを求めるには、まず曲線Cがx軸と交わる点を求め、その間の面積を積分で求めます。
曲線Cはθの範囲が0 ≦ θ ≦ π/2なので、曲線Cの上でx軸との交点はθ = 0であり、そこから点Aまでの間で囲まれる面積を求めます。この面積は、積分を使って次のように表すことができます。
S = ∫[0, θ_A] y dθ
ここで、y = e^−θ sinθ なので、この式を使って積分を行うことで面積Sが求められます。
まとめ
今回の問題では、媒介変数表示を使って曲線Cの形状を理解し、接線がx軸と平行になる点Aを求め、その後、曲線Cとx軸および直線OAで囲まれる面積を積分を用いて求めました。これらの問題を解くことで、媒介変数表示や積分の実用的な使い方を学ぶことができ、数学的なスキルをさらに向上させることができます。
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