「|×+2|≧3」という絶対値の問題を解く際に、なぜ「x≦-5」と「x≧1」の両方が答えとして記入されるのか、また連立不等式の解法との違いについて理解することは、数学の基礎を深めるために重要です。本記事では、絶対値のルールとその解法、連立不等式との違いをわかりやすく解説します。
絶対値とは何か？
絶対値とは、数の「大きさ」を示すもので、数が正であろうと負であろうと、常にその数の距離を0から測ったものと考えます。例えば、|−3| = 3 および |3| = 3 です。これは、−3と3は数直線上で同じ距離にあるからです。
絶対値は常に正の値か、ゼロです。したがって、|a| ≧ b のような不等式を解く際には、絶対値の中身が正でも負でも考慮しなければなりません。
絶対値の不等式の解法
例えば、|×+2| ≧ 3 という絶対値を含む不等式を解く場合、絶対値の定義に従って2つのケースに分けて解きます。
1. ×+2 ≧ 3（絶対値の中身が3以上）
2. ×+2 ≦ −3（絶対値の中身が−3以下）
これにより、2つの不等式が得られます。
- ×+2 ≧ 3 → × ≧ 1
- ×+2 ≦ −3 → × ≦ −5
したがって、解は x ≧ 1 または x ≦ −5 となります。このように、絶対値の不等式は2つの部分に分けて解きます。
連立不等式との違い
連立不等式は、複数の不等式を同時に解く問題です。例えば、x ≦ 15 と x < 3 という2つの不等式が与えられた場合、解は両方の条件を満たす値になります。つまり、x の値が15以下で、かつ3未満である必要があります。この場合、x < 3 のみが答えとなります。
これに対して、絶対値を含む不等式では、絶対値の定義に基づいて、正と負の2つの条件を同時に考慮するため、解は2つの範囲に分かれるのです。
まとめ
絶対値を含む不等式では、絶対値の中身が正でも負でも両方の場合を考慮する必要があります。そのため、「|×+2|≧3」の場合の解は、x≧1 または x≦−5 という2つの範囲に分かれます。一方で、連立不等式では、複数の条件を同時に満たす範囲を求めますが、絶対値の不等式とは異なり、2つの条件が重なる部分が解となります。
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