平方完成を使って2次関数の頂点を求める方法

2次関数のグラフの頂点を求める際、平方完成を用いることで簡単に求めることができます。ここでは、以下の2つの関数を例に、平方完成の方法を解説します。

1. 平方完成とは？

平方完成は、2次関数を「(x-h)² + k」の形に変形する方法です。この形にすると、グラフの頂点を簡単に求めることができます。頂点の座標は (h, k) となります。

まず、Y = -x² + 4x – 5 を平方完成します。

① Y = -x² + 4x – 5 を -1 をかけて形を整えます。
Y = -(x² – 4x) – 5

② x² – 4x の部分を平方完成します。x² – 4x の係数は -4 ですので、その半分の値 (-2) を使い、その2乗を加減します。
Y = -(x² – 4x + 4 – 4) – 5
Y = -( (x – 2)² – 4 ) – 5

③ 式を整理します。
Y = -(x – 2)² + 4 – 5
Y = -(x – 2)² – 1

これで、グラフの頂点は (2, -1) だとわかります。

次に、Y = 2x² – 8x + 8 を平方完成します。

① Y = 2(x² – 4x) + 8 となります。

② x² – 4x の部分を平方完成します。x² – 4x の係数は -4 ですので、その半分の値 (-2) を使い、その2乗を加減します。
Y = 2( (x – 2)² – 4 ) + 8

③ 式を整理します。
Y = 2(x – 2)² – 8 + 8
Y = 2(x – 2)²

これで、グラフの頂点は (2, 0) だとわかります。

平方完成を使うことで、2次関数のグラフの頂点を簡単に求めることができます。頂点は式を (x-h)² + k の形に変形することで得られる (h, k) という座標です。今回の例を参考に、平方完成を使って他の問題も解いてみましょう。