立方体を5色で塗る方法：隣り合う色が同じでもよい場合の塗り方

立方体を5色で塗る場合、隣り合う色が同じでもよいとき、回転一致を考慮して何通りの塗り方があるかを求める問題です。この記事では、立方体の面をどのように塗り分けるか、具体的な解き方をステップバイステップで説明します。

問題の整理と方針

立方体には6つの面があり、それぞれの面に色を塗ります。与えられた条件では、5色の中から各面を塗ることができ、隣り合う面の色が同じでもよいという設定です。回転一致する塗り方を同一とみなすため、回転を考慮して色の配置を求める必要があります。

まず、立方体の面を「上、底、前、後、左、右」とラベル付けし、このラベルに基づいて各面に色を塗っていきます。

色を5色から選ぶ方法は、最初に5C1=5通りであることが分かります。しかし、問題はこの後の「回転一致を同じとみなす」という点です。立方体の面は、回転させることで位置が変わりますが、同じ色で塗られていれば、回転させても同一とみなされます。このため、回転対称性を考慮しながら解く必要があります。

回転対称性を考慮するために、次の2つの方法を検討します。

1. **底面を1色で固定する場合**

底面を固定してしまうと、上面や側面の色を自由に選ぶことができます。この場合、上面を1色で固定し、他の面を残りの4色で塗る方法を考えます。

2. **底面以外の面を固定する場合**

底面を含めた他の面の色を選ぶ方法もあり、この方法では自由に色を配置できる面を増やし、回転による対称性を減らします。

具体的には、以下のように考えます。

この計算を繰り返すことで、回転一致の塗り方を求めることができます。

立方体の5色塗り問題では、隣り合う色が同じでもよいという条件のもとで、回転一致を考慮する必要があります。具体的には、底面を固定するか、他の面を固定する方法で、回転対称性を考慮した塗り方を求めることができます。このような問題を解くためには、回転や対称性の扱い方を理解し、計算を進めることが重要です。