sin(α+β)の計算方法と解説【数Ⅱ】

この問題では、三角関数の加法定理を用いて、sin(α+β)を求めます。与えられた情報から、まずはsin(α+β)を求める手順を一つ一つ解説していきます。

1. 問題に与えられた条件を整理

問題の条件は以下の通りです。

加法定理を用いて、sin(α+β)の式を立てます。加法定理によると。

sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

この式を使って、各三角関数を求めていきます。

まずはcos(α) = -3/5が与えられています。αが第2象限にあるため、sin(α)を求めるためには、ピタゴラスの定理を使います。

sin²(α) + cos²(α) = 1

sin²(α) + (-3/5)² = 1

sin²(α) + 9/25 = 1

sin²(α) = 1 – 9/25 = 16/25

sin(α) = 4/5

次に、sin(β) = 5/13が与えられています。βが第一象限にあるため、cos(β)もピタゴラスの定理を使って求めます。

sin²(β) + cos²(β) = 1

(5/13)² + cos²(β) = 1

25/169 + cos²(β) = 1

cos²(β) = 1 – 25/169 = 144/169

cos(β) = 12/13

これで、必要な三角関数が全て求まりました。sin(α+β)を加法定理に代入すると。

sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

sin(α+β) = (4/5)(12/13) + (-3/5)(5/13)

sin(α+β) = 48/65 – 15/65

sin(α+β) = 33/65

したがって、sin(α+β) = 33/65 となります。加法定理を使って問題を解く手順を確認しました。覚えておくべきポイントは、三角関数の値を求める際にピタゴラスの定理を使うこと、そして加法定理を正確に適用することです。