三角方程式を解く際には、解の存在条件をしっかりと理解することが重要です。この記事では、三角方程式「sin²θ + a cosθ – 2a – 1 = 0」を解く際の解の存在条件と、それに関する場合分けについて詳しく解説します。特に、cosθをxと置き、xの範囲を決定した上での2次方程式の作成について説明します。
三角方程式とcosθの置き換え
問題の方程式「sin²θ + a cosθ – 2a – 1 = 0」では、sin²θを1 – cos²θに置き換えることでcosθに関する方程式を得ることができます。この置き換えによって、θを解く代わりに、cosθをxとして扱うことで解きやすくなります。
sin²θ + a cosθ – 2a – 1 = 0 を cosθ = x と置き換えると、次のような2次方程式に変形できます： x² – ax + 2a = 0。
xの範囲と2次方程式の解
次に、cosθの値は常に-1 ≦ cosθ ≦ 1の範囲内に収まることを思い出してください。この範囲に基づいて、x（= cosθ）にも-1 ≦ x ≦ 1の範囲が適用されます。したがって、xの範囲が[-1, 1]に限定されていることを前提に2次方程式を解く必要があります。
2次方程式 x² – ax + 2a = 0 がxの範囲において解を持つためには、方程式の判別式 Δ = a² – 8a が0以上でなければなりません。判別式が0以上のとき、xは実数解を持ちます。
場合分けと解の存在条件
問題文では、「xの範囲に一つ以上の解を持つ」という条件が求められています。このため、xが-1と1の間に収まる解を持つための条件を考える必要があります。
解がxの範囲内であるためには、判別式が0以上であることとともに、得られる解が-1≦x≦1の範囲に収まることを確認する必要があります。もしxが範囲外の値をとる場合、その解は三角方程式の解にはなりません。
最初に定めたxの範囲との整合性
質問で指摘されているように、「xの範囲が-1＜x＜1となっている」という部分については、解を求める過程でxの範囲に対する誤解があるかもしれません。cosθの値は確かに-1から1の間に収まりますが、場合分けを行う際に得られる解が範囲外でないことを確認することが大切です。場合分けを行う際、xの範囲を再確認することが重要です。
まとめ
三角方程式の解を求める際、解の存在条件を明確にし、解がcosθの範囲に収まることを確認することが重要です。x = cosθの置き換えを行った後は、解がxの範囲[-1, 1]に収まるかどうかを確認し、場合分けを行うことで正しい解を得ることができます。
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