整数aについて、3で割った余りが1、5で割った余りが3、7で割った余りが4という条件があります。このような問題は、合同式を使って解くことができます。ここでは、modを使った解法について解説します。
1. 問題の理解
与えられた条件は、次の通りです。
- a ≡ 1 (mod 3)
- a ≡ 3 (mod 5)
- a ≡ 4 (mod 7)
これらの条件を使って、aを105で割った余りを求めることが求められています。105は3、5、7の最小公倍数であり、これらの合同式をまとめて解くことが可能です。
2. 合同式を解くためのアプローチ
合同式を解くために、中国の剰余定理（Chinese Remainder Theorem）を使うことができます。この方法を使うと、複数の合同式を同時に満たす解を求めることができます。ここでは、まずそれぞれの条件を1つずつ解いていきます。
3. 各条件を組み合わせる
まず、a ≡ 1 (mod 3) と a ≡ 3 (mod 5) を解くために、aを3の倍数で表します。
- a = 3k + 1 とすると、a ≡ 3 (mod 5) との関係を求めます。
次に、この結果を7で割ったときの余りが4になるように調整します。最終的に、105で割ったときの余りを求めることができます。
4. 結果と納得できる解法の考え方
最終的に求めたaの値は、105で割った余りを与えます。modを使った解法は、式を簡潔にしていくための強力なツールです。この方法を用いることで、複雑な合同式を効率的に解くことができます。
5. まとめ
この問題を解くためにmodを使用した方法は、整数の合同式を解くための基本的なアプローチです。最初に3、5、7の合同式を満たす整数aを求め、最終的にそのaを105で割った余りを計算します。modを使うことで、効率よく問題を解くことができることが分かります。
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