合同式の計算と解法の理解 - 与えられた問題のステップ

合同式の解法に関する問題は、特に式の操作において、途中で迷うことがあるかもしれません。この質問では、特定の合同式の計算方法について深掘りし、なぜ誤った結果に至ったのか、その過程と解決策を詳しく解説します。

合同式とは？

合同式とは、ある整数が別の整数で割った余りが等しい場合に使われる数学的な表現です。例えば、a ≡ b (mod n) という式は、a と b が n で割った余りが同じであることを示します。合同式を解くためには、数の性質を理解し、適切に変形を行うことが重要です。

問題の式は以下のようになります。

44y ≡ 20 (mod 48)

この式を解くためには、まずgcd(A, n)が1であるかを確認しますが、与えられた問題ではその確認が省略されています。この式を解くための一つのアプローチは、まず4で割ってから合同式を簡略化することです。

与えられた式 44y ≡ 20 (mod 48) を簡略化するために、両辺を4で割る操作を行います。

44y ≡ 20 (mod 48) → 11y ≡ 5 (mod 12)

ここで重要なのは、合同式を簡略化していく過程です。その後、-y ≡ 5 (mod 12) という式に変形されます。

誤って計算した式では、-y ≡ 5 (mod 12) の解として y = -17, -5, 7, 19, 31… と求められましたが、この結果が正しいかどうかを確認する必要があります。合同式の解は、一定の周期で繰り返すため、 y = 7 + 48k の形に表されるべきです。

y = 7 + 48k の形で表された解が正しい結果です。k は任意の整数であり、この式が与えられた合同式を満たす解を提供します。

合同式の解法では、式を簡略化する手順が非常に重要です。与えられた式を適切に変形し、定義通りの計算を行うことで、正しい解にたどり着くことができます。誤った結果を防ぐためには、各ステップを慎重に確認することが大切です。