x > 0 のとき、x + (1/x²) の最小値を求める方法

この問題は、x > 0 の範囲で x + (1/x²) の最小値を求める問題です。まず、このような最適化問題では、関数の微分を使って最小値を求める方法が有効です。

問題の式を整理する

与えられた式は、x + (1/x²) です。この式は、xの関数として表されており、最小値を求めるには微分を使います。まずはこの式をf(x)とおいて、f(x) = x + (1/x²) とします。

微分して最小値を求める

次に、f(x) を x で微分して、最小値を求めるためにその導関数が0となる点を探します。f'(x) を求めると。

• f'(x) = 1 – 2/x³

次に、f'(x) = 0 とおいて解くと。

• 1 – 2/x³ = 0
• x³ = 2
• x = 2^(1/3)

最小値を確認する

次に、x = 2^(1/3) が最小値かどうかを確認するために、2階微分を求めます。f”(x) を求めると。

• f”(x) = 6/x⁴

f”(x) は x > 0 の範囲で常に正の値をとるので、x = 2^(1/3) は最小値を与える点です。

最小値の計算

x = 2^(1/3) のとき、元の式 f(x) = x + (1/x²) の値を求めます。

• f(2^(1/3)) = 2^(1/3) + 1/(2^(2/3)) = 2^(1/3) + 2^(-2/3)

これが与えられた式の最小値です。

まとめ

この問題では、x + (1/x²) の最小値を求めるために微分を使い、x = 2^(1/3) が最小値を与える点であることが分かりました。その最小値は、x = 2^(1/3) のときの元の式の値である 2^(1/3) + 2^(-2/3) となります。