不等式の整数解の個数を求める方法 - 3(a-1)/4≦x≦3(a+1)/2 の問題を解説

数学の問題において、与えられた不等式の中で整数解の個数を求める方法はよく出題されます。本記事では、「3(a-1)/4≦x≦3(a+1)/2 を満たす整数xがちょうど7個存在するようなaの範囲」を求める問題を取り上げ、その解法を詳しく解説します。

問題の設定と不等式の幅

まず最初に、与えられた不等式を確認しましょう。問題の不等式は、3(a-1)/4≦x≦3(a+1)/2 です。この不等式は、xという整数がこの区間に含まれる範囲を求める問題です。

この不等式の幅を求めるためには、上限と下限を引き算する必要があります。上限は3(a+1)/2、下限は3(a-1)/4です。この差を求めると、区間の幅は次のようになります。

区間の幅は次のように求められます：
3(a+1)/2 – 3(a-1)/4

この式を解くと、以下のように簡単に計算できます。

(3(a+1)/2) – (3(a-1)/4) = (3(a+3))/4

不等式を満たす整数xがちょうど7個であるためには、この区間の幅が整数解を7個含むような範囲である必要があります。整数解の個数は、区間の幅に依存するので、この幅が7個の整数解を含む場合に対応するaの範囲を求めます。

整数解の個数を求めるための条件式は次の通りです。

6 ≦ 3(a+3)/4 ＜ 8

次に、上記の条件式からaの範囲を求めます。まず、式を解くために両辺に4を掛けてみましょう。

6 × 4 ≦ 3(a+3) ＜ 8 × 4

24 ≦ 3(a+3) ＜ 32

次に、この式を解いていきます。

両辺を3で割ると。

8 ≦ a + 3 ＜ 10.67

最後に、aを求めるために3を引きます。

5 ≦ a ＜ 7.67

よって、aの範囲は5 ≦ a ＜ 7.67です。この範囲の中で整数aを取ると、a = 5, 6が解となります。

今回の問題では、不等式の幅を求め、それを元に整数解の個数が7個となるようなaの範囲を求めました。最終的に、aの範囲は5 ≦ a ＜ 7.67であり、この範囲の中でa = 5, 6が解となります。

このように、不等式の幅や整数解の個数を求める問題では、式の変形を行い、条件を満たす範囲を導き出すことが重要です。