数学Aの問題解説：硬貨を使った確率問題と期待値の求め方

今回は、数学Aの問題を解説します。問題は、原点Oから出発して数直線上を動く点Pに関するものです。点Pは硬貨を投げて、表が出れば+2、裏が出れば−1の移動を繰り返します。これをもとに、確率や期待値を求める問題です。

問1：硬貨を4回投げて点Pが座標5に到達する確率

まず、点Pは硬貨を投げるたびに移動します。表が出れば+2、裏が出れば−1移動します。この動きの中で、硬貨を4回投げて点Pがちょうど座標5に到達する確率を求めます。

点Pが4回目に座標5に到達するためには、移動の合計が+5でなければなりません。これを求めるために、表が出た回数をx、裏が出た回数をyとします。4回投げているので、x + y = 4が成り立ちます。そして、表が出た回数による移動量は2x、裏が出た回数による移動量は−yなので、合計の移動量は2x − yです。この合計が5である必要があります。したがって、次の式が成り立ちます。

2x − y = 5

これを解くと、x = 3, y = 1となります。つまり、表が3回、裏が1回出る場合のみ、座標5に到達します。確率を求めるために、この場合の組み合わせを求めます。4回中3回が表、1回が裏になる組み合わせは、4C3 = 4通りです。各回の硬貨の投げにおける確率は1/2なので、確率は(1/2)^4 = 1/16です。したがって、この確率は4 * 1/16 = 1/4です。

問2：点Pが座標3以上に初めて到達するまでの期待値

次に、点Pが座標3以上に初めて到達するまで硬貨を投げる回数の期待値を求めます。この問題は期待値の定義を使って解きます。期待値は、確率分布に基づいて、結果の重み付き平均を求めるものです。

点Pが座標3以上に初めて到達するまでの投げる回数は、何回硬貨を投げるかによって変わります。1回目に3以上に到達する確率、2回目に到達する確率…といった具合に、確率を求めていきます。この問題は詳細な計算を行う必要がありますが、基本的には確率の重みを用いて投げる回数の期待値を計算します。

まとめ

この問題では、確率の基本的な考え方と、期待値の求め方を理解することが重要です。硬貨の投げを通じて、移動量の計算や確率の計算を行うことで、座標への到達確率や期待値を求めることができました。数学は問題を解くことで理解が深まるので、同様の問題を繰り返し解くことで、より効果的に学習することができます。