複素数の極形式を使った式の解法

今回の問題では、与えられた複素数の式を極形式に表現し、それを用いて自然数nを求める問題です。まずは、複素数の極形式の基本を理解したうえで、式を変形していきましょう。

複素数の極形式とは

複素数は一般的にa + biの形で表されますが、極形式では、複素数を半径rと角度θを使って表現します。極形式は次のように書きます。

z = r(cosθ + isinθ) または z = re^(iθ)

式 {(√3+1)/2 + (√3-1)i/2}^2n の極形式に変換するために、まずこの複素数を極形式に変換します。

与えられた複素数をz = (√3+1)/2 + (√3-1)i/2とし、この複素数の大きさr（モジュール）と角度θを求めます。具体的には、r = √((Re(z))^2 + (Im(z))^2) で、θはarg(z) = tan^(-1)(Im(z)/Re(z)) で計算できます。

次に、式を回転させることによって求められる体積を考えます。与えられた式が回転する際、その結果としてできる体積は回転体の体積になります。回転体の体積の計算は、積分を使用して求めます。

これには、円環断面を積分して回転体の体積を求める方法が使われます。具体的には、回転軸を中心にした積分を行い、体積を求めます。

式の回転を考えた後、最小の自然数nを求めるためには、与えられた条件をもとに積分の結果を最小化する必要があります。具体的には、得られた体積が最小になるnの値を求めます。

そのためには、与えられた式を極形式に変換し、必要な積分計算を行い、その結果として得られた体積が最小となるnを特定します。

複素数の極形式を使って与えられた式を変換し、回転体の体積を求める方法について解説しました。最小の自然数nを求めるためには、与えられた条件をもとに積分を行い、その結果を最小化する必要があります。この問題では、極形式の理解と積分計算のスキルが重要になります。