微分方程式の解法: y” + n^2y = sec(x) (n ≠ 0) の解き方

この問題では、微分方程式 y” + n^2y = sec(x) の解法について解説します。nは非ゼロの定数です。この方程式を解くためには、まず基本的な解法のアプローチを理解することが重要です。

方程式の形と解法のアプローチ

与えられた微分方程式は、2階線形非同次微分方程式です。まず、この方程式の同次部分の解を求め、次に非同次項を考慮して特解を求めます。

同次方程式の解法

まず、同次方程式 y” + n^2y = 0 を解きます。これは典型的な定数係数の2階線形微分方程式であり、その解は指数関数的な形をとります。解は次のようになります。

y_h(x) = c_1 cos(nx) + c_2 sin(nx)

特解の求め方

次に、非同次項 sec(x) に対する特解を求めます。この部分では、通常の定数変化法や適切な試行関数を使います。ここでは、sec(x) の形に合わせて適切な特解を選びます。

最終的な解とまとめ

最終的に、一般解は同次解と特解の和として表されます。

y(x) = c_1 cos(nx) + c_2 sin(nx) + 特解

このようにして、微分方程式 y” + n^2y = sec(x) を解くことができます。問題に出てくる「sec(x)」の処理はやや難しいですが、基本的な微分方程式の解法に則ったアプローチを取ることで解決できます。