ベクトルの線形結合に関する質問が多く寄せられています。今回は「p↑=sa↑+tb↑という式が成り立つ場合、実数s, tが存在することがどのような条件で保証されるのか」という問題に関して解説します。特に、これが成立するための前提条件について学んでいきましょう。
ベクトルの線形結合とは？
まず、ベクトルの線形結合とは、与えられたベクトルa↑とb↑を、実数sとtを使って加重平均したものです。つまり、p↑がsa↑+tb↑として表されるとき、p↑はa↑とb↑をそれぞれs倍、t倍したものを足し合わせたベクトルということです。
線形結合が成り立つための条件
「p↑=sa↑+tb↑が成り立つ」とは、実数sとtが存在することでp↑がa↑とb↑の線形結合として表現できることを意味します。この関係は、ベクトルa↑とb↑が線形独立であれば常に成り立ちます。線形独立とは、a↑とb↑が互いに方向を持っており、a↑とb↑の間に重なりがないことを意味します。
線形独立と線形従属
もしa↑とb↑が線形従属であれば、p↑をa↑とb↑の線形結合として表すことができない場合もあります。線形従属とは、a↑とb↑が同じ直線上に並んでいる場合などです。この場合、p↑を一意に表すことができないため、線形結合が成り立ちません。
具体例で理解する
具体的な例を挙げてみましょう。ベクトルa↑ = (1, 2) と b↑ = (2, 4) があります。この場合、a↑とb↑は線形従属です。なぜなら、b↑はa↑の2倍だからです。このため、p↑ = sa↑ + tb↑で表すことができるp↑は一意ではなく、線形結合が成り立ちません。
一方、a↑ = (1, 0) と b↑ = (0, 1) のように、a↑とb↑が互いに直交している場合、これらは線形独立です。この場合、p↑ = sa↑ + tb↑が常に成り立ちます。
まとめ
p↑=sa↑+tb↑という式が成り立つためには、a↑とb↑が線形独立である必要があります。線形独立であれば、p↑を一意に表現することができ、実数s, tが存在することが保証されます。逆に、線形従属の場合はp↑を一意に表現することができませんので、注意が必要です。
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