微分方程式の解法: (xy - y^2)dx + (x + 1)dy = 0 の解き方

この微分方程式を解く方法について、順を追って説明します。与えられた方程式は、(xy – y^2)dx + (x + 1)dy = 0 です。この式を解くためには、まず変数分離法を適用し、最終的に積分を行います。

1. 方程式の整理

まず、与えられた方程式を整理しましょう。

(xy – y^2)dx + (x + 1)dy = 0

両辺をdyで割って、dyの項を移項します。

これにより、次のような形に変形できます。

(xy – y^2) / (x + 1) = – dy / dx

この方程式を変数分離法で解くために、両辺のxとyの項を分離します。次のように整理できます。

dy / (xy – y^2) = -(dx / (x + 1))

次に、両辺を積分します。

左辺はyについて、右辺はxについて積分します。これにより、次の式が得られます。

∫ dy / (xy – y^2) = – ∫ dx / (x + 1)

積分を行うと、次の結果を得ることができます。

結果: ln|xy – y^2| = – ln|x + 1| + C

最終的に、解の形に整理します。結果として、次の式を得ます。

xy – y^2 = C(x + 1)

以上が与えられた微分方程式の解法です。変数分離法を用いて方程式を解き、最終的に解を導き出しました。この方法を理解することで、他の微分方程式も同様に解けるようになります。