2次方程式の解を利用した三角関数の計算：sin²(α+β)+3sin(α+β)cos(α+β)-5cos²(α+β)の求め方

2次方程式x²+3x-2=0の解がtanαとtanβであるとき、与えられた三角関数の式sin²(α+β)+3sin(α+β)cos(α+β)-5cos²(α+β)の値を求める問題です。この問題では、解を三角関数に結びつけて計算する方法を学びます。この記事では、その解法を詳しく解説します。

2次方程式の解と三角関数の関係

まず、与えられた2次方程式x² + 3x – 2 = 0の解を求めます。この方程式の解は、解の公式を使って計算できます。

解の公式：x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

この式にa=1, b=3, c=-2を代入すると、解はx = (-3 ± √(9 + 8)) / 2 = (-3 ± √17) / 2となります。これがx1とx2であり、それぞれtanαとtanβとして設定します。

解をtanαとtanβに関連付けるために、αとβの三角関数を使います。具体的には、tan(α) = (-3 + √17) / 2、tan(β) = (-3 – √17) / 2です。

次に、sin(α+β)とcos(α+β)を求めます。三角関数の加法定理を使用することで、sin(α+β)とcos(α+β)を求めることができます。

三角関数の加法定理により、以下の式が成立します。

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ

これらの式を使って、tanαとtanβを使ってsin(α+β)とcos(α+β)の値を計算します。sin(α+β)とcos(α+β)が求まれば、与えられた式の計算が可能になります。

与えられた式sin²(α+β)+3sin(α+β)cos(α+β)-5cos²(α+β)を展開し、計算を進めます。三角関数の値が求まれば、式の値を最終的に求めることができます。

この問題では、2次方程式の解を三角関数に結びつけて、与えられた式の値を求めました。解の公式を用いて解を求め、その解を利用して三角関数の加法定理を使って計算を行うことで、最終的な結果が得られます。数学的なテクニックを駆使して、問題を解く方法を理解することが重要です。