log(x) と x! の大小関係の求め方【x≧1の場合】

この問題では、x≧1 の条件下で、log(x) と x! の大小関係を求めます。log(x)はxの対数であり、x!はxの階乗です。まずは、それぞれの定義を確認し、どのようにしてその大小関係を求めるのかを説明します。

1. log(x) と x! の定義

log(x) は「xの対数」を意味します。通常、log(x)は自然対数 (ln(x)) や常用対数 (log₁₀(x)) で表されますが、この問題では対数の基を明記していませんので、一般的には自然対数 (ln(x)) だと考えます。

また、x! はxの階乗であり、x! = x × (x-1) × (x-2) × … × 1 という計算です。

まず、xが小さい値（例えばx=1やx=2）でのlog(x) と x! の関係を見てみましょう。これらの計算を実際に行うことで、最初にどちらが大きいのかを確認できます。

log(1) = 0, 1! = 1 ですので、この場合はx! > log(x) です。

log(2) ≈ 0.693, 2! = 2 ですので、この場合もx! > log(x) です。

xが大きくなると、log(x)は徐々に増加していきますが、x!は急激に増加します。階乗は指数関数的に増加するため、x!はlog(x)よりも圧倒的に大きくなります。

log(10) ≈ 2.302, 10! = 3,628,800 ですので、この場合もx! ≫ log(x) です。

一般的に、x≧1の場合、x! はlog(x)よりも急速に大きくなるため、x! の方が大きいと言えます。特にxが大きくなるにつれて、その差は顕著になります。

したがって、log(x) と x! の大小関係は、x≧1 の場合、常に x! > log(x) となります。