この問題では、1/136の確率で当たりを引くクジを100人が8000回引いたとき、どのように分布するかを確率論を使って解説します。具体的には、各人の当たる確率を見積もり、どれくらいの範囲に収まるのかを計算していきます。
1. 基本的な設定と確率
まず、クジを引く確率が1/136であることがわかっています。100人がそれぞれ8000回クジを引くとき、各人の当たる回数はどのように分布するのでしょうか？
2. 確率の計算方法
1回のクジを引く確率が1/136ですので、8000回引くときの期待値（平均値）は次のように計算できます。
期待値 = 8000 × (1/136) = 58.82回
つまり、1人が引くクジの当たり回数の期待値は約59回となります。
3. 正規分布の適用
確率が小さいため、ポアソン分布を近似に使うこともできますが、ここでは簡単に正規分布を使って、結果がどれくらい広がるかを見ていきます。ポアソン分布が正規分布に近似される場合、標準偏差も計算できます。
標準偏差は次のように求められます。
標準偏差 = √(8000 × (1/136) × (135/136)) ≈ 7.67回
4. 分布範囲と結果の予測
次に、100人全員の引いた当たり回数がどの範囲に収まるのかを見積もります。平均値58.82回、標準偏差7.67回の正規分布で考えたとき、例えば±2σ（約95%の確率）で結果がどれくらいの範囲に収まるかを計算します。
範囲：58.82 ± (2 × 7.67) ≈ [43.48, 74.16]
つまり、クジを引いた結果、当たり回数が43回から74回に収まる人が約95%いると予測できます。
5. まとめ
このように、確率論を使って8000回クジを引いたときにどれくらいの範囲に収まるのかを予測することができます。平均的な結果は約59回の当たりで、ほとんどの人がその周りに収まることがわかります。このような確率の計算は、確率分布の理解を深めるのに役立ちます。
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