数学の問題では、式の変形において細かな注意が必要です。特に絶対値や分数が含まれる式では、誤ったステップを踏むと最終的な答えに大きな影響を与えることがあります。今回は、|α-2/3|=2/3 と |β+1/2|=|β-1| の式変形に関する疑問について解説します。
与えられた式の確認
最初に与えられた式は以下の通りです。
|α – 2/3| = 2/3
この式から始めて、次に以下の式を導きます。
|-1| ・ |1/(β-1) + 2/3| = 2/3
絶対値の性質と式の変形
絶対値を含む式では、絶対値の性質に従って処理を行う必要があります。絶対値は、変数が正であれ負であれ、その数値の大きさを示します。この性質を踏まえて式を展開していきます。
式 |α – 2/3| = 2/3 は、αの値に関係なく、α – 2/3 が 2/3 または -2/3 であるということを示しています。これをもとに、問題を解いていく過程で重要なのは、絶対値を適切に処理することです。
誤りが生じた理由
式 |-1| ・ |1/(β-1) + 2/3| = 2/3 に進んだ段階で、重要な点は絶対値を使った式変形が正しく行われているかどうかです。この部分の処理において誤りが生じることがあります。
式変形の中で、「|β + 1/2| = |β – 1|」という形に進んだのは不適切な操作です。この関係を導くためには、|β + 1/2| と |β – 1| が等しいと仮定して解くのは理論的に成立しません。
絶対値の式を正しく解く方法
絶対値を含む式を解くときには、まず絶対値の定義をしっかりと適用することが重要です。例えば、|x| = a という式が与えられた場合、x = a または x = -a という二つの解が得られます。この原則に従って、式を段階的に展開していく必要があります。
したがって、今回の問題でも、式の変形が間違っている場合は、絶対値の性質を再確認し、正しい手順で解いていくことが必要です。
まとめ
与えられた式で誤った式変形を行わないためには、絶対値の性質を正しく理解し、それに基づいた変形を行うことが重要です。「|β + 1/2| = |β – 1|」という式に進んでしまったのは誤りであり、絶対値の取り扱いを慎重に行うことで、正しい解答にたどり着くことができます。
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