慶応大学の入試問題として紹介されている「|x-a| < x+1 を満たす実数xが存在するようなaの範囲を求めよ」という問題は、数学的な視点から考えると少し複雑に感じるかもしれません。このような問題を解くためには、まず問題の条件をしっかり理解し、適切な手順で進めることが大切です。この記事では、解答の指針とともに、この問題を解くためのステップを解説します。
問題の整理: |x-a| < x+1
この不等式を解くためにまず、|x-a|が意味するところを確認します。絶対値の式|x-a|は、xとaの差の絶対値を表しています。絶対値は、数がどれだけ離れているかを示すので、まずこの絶対値を解くためには場合分けを行います。
場合分けのステップ
絶対値の式|x-a|には次の2つのケースがあります。
- 1. x-a ≥ 0 の場合、|x-a| = x-a
- 2. x-a < 0 の場合、|x-a| = -(x-a) = a-x
これを使って、それぞれの場合について不等式を解いていきます。
場合1: x-a ≥ 0 の場合
まず、x-a ≥ 0 の場合、すなわち x ≥ a の場合を考えます。この場合、不等式は x – a < x + 1 となります。両辺からxを引くと、-a < 1 となり、a > -1 となります。これがこの場合の解となります。
場合2: x-a < 0 の場合
次に、x-a < 0 の場合、すなわち x < a の場合を考えます。この場合、不等式は a - x < x + 1 となります。両辺にxを足すと、a < 2x + 1 となります。これをxについて解くと、x > (a-1)/2 となります。
解の範囲のまとめ
このようにして、xに対する条件を求めた結果、a > -1 かつ x > (a-1)/2 という条件が得られました。これを整理すると、aの範囲が決まります。最終的に求めるべきaの範囲は、xが実数解を持つための条件を満たす範囲となります。
まとめ
この問題を解くためには、まず絶対値の意味を理解し、場合分けを行うことが重要です。その後、不等式を適切に解くことで、実数の範囲を求めることができます。慶応大学の入試問題のような問題に取り組む際は、焦らずにステップを踏んで解答にたどり着くことがポイントです。
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