関数y = x² - 2ax + 2a²の最小値と最大値の求め方

この問題では、関数y = x² – 2ax + 2a²（0 ≦ x ≦ 2）の最小値と最大値を求める方法について解説します。まず、与えられた関数を使って、最小値と最大値を求める手順を説明します。

関数の形を確認

与えられた関数はy = x² – 2ax + 2a²です。これは2次関数の形式で、xの2次項と1次項が含まれています。2次関数のグラフは放物線の形をしています。最小値と最大値を求めるには、まず関数の頂点や境界での値を調べます。

2次関数の最小値や最大値は、xの係数を使って求めることができます。まず、関数y = x² – 2ax + 2a²の頂点を求めます。2次関数の頂点のx座標は、一般的にx = -b / (2a)で求めることができます。

この関数において、a = 1、b = -2aですので、頂点のx座標は。

x = -(-2a) / (2 * 1) = a

このx = aでのyの値を求めることで、最小値を得ることができます。y = a² – 2a * a + 2a² = 3a² – 2a² = a²ですので、最小値はa²です。

次に、この関数が定義されている範囲での最大値を求めます。xの範囲は0 ≦ x ≦ 2ですので、この範囲の端点でのyの値を求めます。

x = 0の場合、y = 0² – 2a * 0 + 2a² = 2a²です。

x = 2の場合、y = 2² – 2a * 2 + 2a² = 4 – 4a + 2a²です。

これで、x = 0およびx = 2でのyの値を比較し、大きい方が最大値となります。

最小値はa²、最大値はx = 0またはx = 2で求めた値のうち大きい方になります。関数の最大値と最小値を求める際は、頂点のx座標を求めた後、境界での値も確認して比較することが重要です。