「xy = 2x + 2y + 4」の不等式を満たす自然数の組み合わせを求める問題について解説します。この問題を解くための手順を一つ一つ説明し、どのように解決するかをわかりやすく説明します。
問題の式の確認
与えられた問題は次の通りです。
xy = 2x + 2y + 4
さらに条件として、x ≧ y（xはy以上である）という制約も加わっています。この式を満たす自然数の組み合わせを求めることが目標です。
式の整理
まず、式を整理していきましょう。
xy = 2x + 2y + 4
両辺から2xと2yを引いて式を変形すると、次のようになります。
xy – 2x – 2y = 4
この式を解くために、左辺にxとyの積を整理する方法を考えます。
因数分解を試みる
式を因数分解するために、次のように式を書き換えることができます。
(x – 2)(y – 2) = 8
これは「(x – 2)(y – 2) = 8」と因数分解することができる式です。
ここから、xとyの値を探すために、8を2つの自然数の積に分ける方法を考えます。
xとyの組み合わせを求める
8を自然数の積に分ける方法は次のようになります。
- 1 × 8
- 2 × 4
- 4 × 2
- 8 × 1
これらの組み合わせを使って、xとyの値を求めます。
- x – 2 = 1、y – 2 = 8 → x = 3, y = 10
- x – 2 = 2、y – 2 = 4 → x = 4, y = 6
- x – 2 = 4、y – 2 = 2 → x = 6, y = 4
- x – 2 = 8、y – 2 = 1 → x = 10, y = 3
解となる組み合わせ
x ≧ y という条件を考慮すると、xがy以上である必要があります。したがって、次の解が得られます。
- (x, y) = (3, 10)
- (x, y) = (4, 6)
- (x, y) = (6, 4)
- (x, y) = (10, 3)
したがって、解となる組み合わせはこれらです。
まとめ
この問題は、式を整理して因数分解することで解くことができました。xとyの自然数の組み合わせを求める際には、因数分解の力を使い、条件を考慮することが重要です。最終的に、x ≧ yという条件を満たす組み合わせを導き出しました。
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