7x - 2y = 1 の整数解の求め方と解法の確認

数学Aの問題で、1次不定方程式「7x – 2y = 1」の整数解を求める際、解法のステップを正確に踏むことが重要です。特に、「x = 2k – 1, y = 7k – 4」という解が正しいかどうかを確認するためのポイントについて解説します。

1次不定方程式の解法について

1次不定方程式「ax + by = c」の整数解を求める際には、まず、aとbの最大公約数（GCD）を求めます。もしその最大公約数がcを割り切るならば、整数解が存在することがわかります。この場合、具体的な解法を導くためには、拡張ユークリッドの互除法を使用することが多いです。

「7x – 2y = 1」の場合、a = 7, b = -2, c = 1 です。まず、この方程式の最大公約数を調べると、7と2は互いに素（最大公約数は1）であるため、解が存在することが確認できます。

次に、「x = 2k – 1, y = 7k – 4」という解が正しいかを確認してみましょう。この解法は、一般的に不定方程式の整数解を求める方法の一つです。

代入して確認すると、7(2k – 1) – 2(7k – 4) = 1 となります。これを計算すると、14k – 7 – 14k + 8 = 1 となり、1 = 1 となり、両辺が一致します。したがって、「x = 2k – 1, y = 7k – 4」は正しい整数解の一つです。

1次不定方程式の整数解は、通常、一般解として「x = x₀ + b * k, y = y₀ – a * k」の形で表されます。ここで(x₀, y₀)は特解、kは任意の整数です。

今回の問題では、特解「x₀ = -1, y₀ = -4」を使って、整数解の一般形は「x = 2k – 1, y = 7k – 4」となります。これは、kを任意の整数にすることで、無限に多くの解が得られることを意味します。

「7x – 2y = 1」の整数解は、「x = 2k – 1, y = 7k – 4」の形で表されます。この解法は正しく、kを任意の整数にすることで無限に多くの整数解を得ることができます。整数解を求める際には、まず最大公約数を確認し、次に特解を求め、最後に一般解を導くステップを踏むことが重要です。