不定積分を解く際には、積分の公式や基本的な積分の技法を活用することが重要です。今回は、積分∫sinxcosxtanx dxを解く方法について、具体的なステップを紹介します。
問題の確認と積分の準備
まず、与えられた不定積分は次のようになります。
∫sin(x)cos(x)tan(x) dx
この積分を解くためには、まずtan(x)をsin(x)とcos(x)を使って表現する必要があります。tan(x)は、次のように定義されています。
tan(x) = sin(x)/cos(x)
この定義を使うと、積分は次のように簡略化されます。
∫sin(x)cos(x) × sin(x)/cos(x) dx
積分の簡略化と計算
積分式を簡略化すると、cos(x)がキャンセルされて、次のような式になります。
∫sin²(x) dx
これで積分を計算する準備が整いました。
sin²(x)の積分方法
sin²(x)の積分を計算するためには、次の恒等式を使用します。
sin²(x) = (1 – cos(2x)) / 2
この恒等式を積分式に代入すると。
∫sin²(x) dx = ∫(1 – cos(2x)) / 2 dx
この式は次のように分けて積分することができます。
(1/2)∫1 dx – (1/2)∫cos(2x) dx
積分の計算と解答
それぞれの積分を計算すると。
∫1 dx = x
∫cos(2x) dx = (1/2)sin(2x)
したがって、最終的な積分結果は次のようになります。
(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C
まとめ
今回は、不定積分∫sin(x)cos(x)tan(x) dxを解く方法をステップバイステップで解説しました。まず、tan(x)をsin(x)とcos(x)を使って表現し、その後sin²(x)の積分を行うことで解を得ることができました。積分のテクニックを駆使することで、このような積分問題もスムーズに解けるようになります。
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