2乗や3乗の展開公式は、基本的に実数の範囲で使われますが、虚数を扱う際にも問題なく適用できます。この記事では、虚数が入ると展開公式が使えなくなるのか、またその場合の扱い方について説明します。
1. 2乗・3乗の展開公式の基本
まず、2乗や3乗の展開公式を簡単に復習しましょう。2乗の展開公式は (a + b)² = a² + 2ab + b²、3乗の展開公式は (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ です。これらの公式は実数に対しても虚数に対しても使える基本的な公式です。
2. 虚数が入る場合の展開
虚数（例えば、i）を使った場合でも、これらの展開公式は変わりません。虚数の定義は i² = -1 であり、この性質を利用して計算します。たとえば、(a + bi)² = a² + 2abi + (bi)² となり、(bi)² = -b² となるので、最終的に実数と虚数の部分が合成されて結果が得られます。
3. 実例を使った展開
具体的に (3 + 4i)² を計算してみます。まず、展開公式を適用すると、(3 + 4i)² = 3² + 2(3)(4i) + (4i)² です。計算すると、9 + 24i + (-16) となり、最終的に -7 + 24i という複素数が得られます。このように、虚数を含む場合でも展開公式は問題なく使用できます。
4. 虚数を含む場合の注意点
虚数を使う際には、計算結果が実数と虚数の両方の成分を持つ複素数になることを理解しておく必要があります。したがって、展開後の結果が複素数として現れることを前提に計算を進めますが、これは通常の実数の場合と同様に展開公式を使用できるということです。
5. まとめ
2乗や3乗の展開公式は虚数が含まれていても使用可能です。虚数が入る場合でも、複素数としての計算結果が得られます。虚数を含む場合でも、計算方法に変更はなく、実数と虚数の部分を適切に処理すれば正しい結果が得られます。
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