y=xsin(1/x), x≠0; 0, x=0 の有界変動についての解説

数学の問題において、関数 y=xsin(1/x), x≠0; 0, x=0 が区間 [0, 1] 上で有界変動かどうかを調べることは非常に興味深いテーマです。この関数の特性を理解するためには、関数の連続性や変動の性質を理解することが重要です。

1. 関数の定義と意味

まず、関数 y=xsin(1/x), x≠0; 0, x=0 の定義について確認します。これは、x が 0 のときに特別な定義が与えられ、その他の x の値では y=xsin(1/x) と表される関数です。このような関数を理解するためには、x=0 での挙動とそれ以外での挙動に分けて考えることが必要です。

2. 連続性と有界性

関数が有界変動かどうかを調べるためには、まずその関数が連続であるかどうか、そしてその変動が有限であるかを確認する必要があります。x=0 の近くで、sin(1/x) の振動が非常に急速に変化することがあるため、x=0 の近くでの挙動をよく理解することが重要です。

3. 有界変動の定義

有界変動とは、ある区間で関数が取る値の範囲が有限であることを意味します。関数が有界変動であるためには、関数の変動が無限に広がらず、一定の範囲内で収束する必要があります。この観点から、関数 y=xsin(1/x) の変動が [0,1] 上でどのように振る舞うかを解析することが求められます。

4. 関数 y=xsin(1/x) の挙動

x≠0 のとき、sin(1/x) は急激に振動しますが、x が 0 に近づくにつれて、その振動の幅は x の値によって抑えられます。したがって、この関数は [0,1] 上で有界変動を持つと言えます。x=0 のときの値が 0 であり、全体として関数は有限の範囲に収束するため、無限の変動は生じません。

5. まとめ

関数 y=xsin(1/x), x≠0; 0, x=0 は、[0,1] 上で有界変動です。これは関数の振動が x の値により抑えられ、無限に変動することがないからです。このような解析において、連続性や変動の特性を理解することが鍵となります。