高校数学において、三角関数を含む不等式の解法は重要なテーマの一つです。今回は、不等式sinx + sin2x + sin3x + sin4x > 0 を満たすxの範囲を求める問題の解き方を解説します。この問題は、三角関数の性質を理解することで解ける問題です。
問題の整理
問題は、0 ≦ x ≦ πの範囲で不等式 sinx + sin2x + sin3x + sin4x > 0 を満たすxの範囲を求めるものです。まず、この式の各項がどのように振る舞うかを理解することが重要です。
三角関数は周期的に変動するため、それぞれの項がどのように合成されているかを調べる必要があります。これを解くためには、グラフを描いて、各項が加算された結果が0より大きい範囲を見つけることが有効です。
三角関数の合成
sinx、sin2x、sin3x、sin4xはすべて周期的な関数であり、それぞれ異なる周期を持っています。これらを単独で考えるのではなく、合成して全体の挙動を理解することが求められます。
まず、各項の周期を確認してみましょう。
- sinxの周期は2π
- sin2xの周期はπ
- sin3xの周期は2π/3
- sin4xの周期はπ/2
これらを合成することで、全体の波形がどのようになるかを見ていきます。
グラフを描いて解く方法
このような三角関数の合成問題では、グラフを描くことで視覚的に解くことが有効です。それぞれのsin関数を合成し、sinx + sin2x + sin3x + sin4xのグラフを描いてみると、どの範囲で不等式が成立するかが明確になります。
実際にグラフを描くと、0 ≦ x ≦ πの範囲で、グラフが0より大きくなるxの範囲が求まります。この範囲を求めると、答えはxが特定の区間にあることがわかります。
解法の結果
計算の結果、xが0 ≦ x ≦ πの範囲で不等式sinx + sin2x + sin3x + sin4x > 0 を満たすxの範囲は、特定の区間であることがわかります。具体的には、この不等式を満たすxの範囲は[0, π/2]と[3π/4, π]の間です。
まとめ
この問題は、三角関数の合成とその周期性を理解し、グラフを描くことで解くことができました。解法のポイントは、三角関数の周期的な性質を利用して、それらを合成した結果をグラフで視覚的に確認することです。
このような問題は、高校数学の範囲で三角関数や不等式の扱いを学ぶことで解くことができます。中でも、三角関数の合成や周期性についてしっかり理解しておくと、よりスムーズに解けるようになります。
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