f(x) = -x³ + 12x² - 45x + 45の最大値と最小値を求める方法と範囲

この問題では、関数f(x) = -x³ + 12x² – 45x + 45の最大値と最小値を求め、その最小値が達成される範囲についても考察します。問題で与えられている範囲は、0 ≦ x ≦ a となっていますので、この範囲における関数の振る舞いを解析します。

1. 関数の微分を求める

まず、関数f(x) = -x³ + 12x² – 45x + 45の微分を求めます。微分することで、関数の増減を把握し、極値を求めることができます。

f'(x) = -3x² + 24x – 45

次に、微分した結果を用いて、関数の増減が変わる点、すなわち極値を求めます。これにはf'(x) = 0となるxの値を求めます。

-3x² + 24x – 45 = 0

式を解くと、x = 5またはx = 3となります。したがって、x = 3およびx = 5が極値を持つ点です。

次に、x = 0およびx = aの境界におけるf(x)の値を求めます。

f(0) = -0³ + 12(0)² – 45(0) + 45 = 45

また、x = 5とx = 3での関数値を求めます。

f(3) = -(3)³ + 12(3)² – 45(3) + 45 = 27

f(5) = -(5)³ + 12(5)² – 45(5) + 45 = 70

f(x)の最小値と最大値を求めるためには、まずx = 3, 5, 0での関数の値を確認し、次にx = aでの挙動を考察する必要があります。

f(0) = 45、f(3) = 27、f(5) = 70です。このため、最大値はx = 5で、最小値はx = 3またはx = 0で生じます。

最小値が達成されるxの範囲を求めるためには、aの値を考慮する必要があります。具体的には、aが5より大きい場合、x = 5が最小値となり、aが3より小さい場合、x = 0が最小値になります。

最小値と最大値を求めるためには、まず微分して極値を求め、次に境界値での計算を行いました。最小値はx = 3またはx = 0で達成され、最大値はx = 5で達成されます。aの範囲については、a > 5で最小値はx = 3、a ≤ 5で最小値はx = 0になります。