距離の比から求める点Pの座標と円の方程式の解き方

今回は、与えられた2点A（7,0）とB（-1,0）に対して、距離APが距離BPの3倍である点Pについて考えます。このような問題を解くためには、座標平面上での位置関係と距離の公式を使う必要があります。さらに、この点Pを中心とする円の方程式も求める方法を解説します。

問題の整理

まず、点A（7,0）と点B（-1,0）が与えられています。点Pは、距離APが距離BPの3倍であるとされています。この関係を元に、点Pの座標を求める必要があります。

次に、点Pを中心とする円の方程式を求めます。円の方程式は、中心の座標と半径から求めることができるため、まず点Pの座標を確定させる必要があります。

距離APが距離BPの3倍であるという条件を使って、点Pの座標を求める方法を解説します。このような問題では、点Pが点Aから3倍、点Bから1倍の距離にある点であるため、重心の概念を使って座標を求めることができます。

重心の公式に基づくと、点Pの座標は次のように求めることができます。

点Pの座標 = (Aの座標 * 1 + Bの座標 * 3) / (1 + 3)

これを計算すると、点Pの座標は(1, 0)となります。

点Pを中心とする円の方程式を求めるためには、円の中心と半径が必要です。点Pが円の中心であり、半径は点PからAまたはBまでの距離に等しいことがわかります。

点P（1,0）からA（7,0）までの距離を求めると、距離は6です。よって、円の半径は6となります。

円の方程式は、(x – 1)^2 + y^2 = 6^2 となります。この式が、点P（1,0）を中心とする半径6の円の方程式です。

この問題では、与えられた2点AとBから、距離の比を使って点Pの座標を求め、その点Pを中心とする円の方程式を求めました。距離の比を利用した座標の計算方法と、円の方程式の求め方を理解することで、類似の問題を解く力がつきます。