数学の積分問題でよく出てくる式に「∮tan²x(tanx)’dx-∮(1/cos²x-1)dx=1/3tan²x-tanx+x+C」というものがあります。この式の解法と、なぜ(tanx)’がどこに消えるのかという点について、具体的なステップを踏んで解説します。
式の詳細とその分解
与えられた式は2つの積分の差を含んでいます。まず、積分の中身を見てみましょう。1つ目の積分は「tan²x(tanx)’dx」、2つ目の積分は「(1/cos²x – 1)dx」です。まず、1つ目の積分を展開して考えます。
tanxの導関数はsec²xですので、(tanx)’ = sec²xです。よって、最初の積分はtan²x * sec²xとなり、次にこの積分を計算することになります。
1つ目の積分の計算
最初の積分「∮tan²x * sec²x dx」を解くためには、tan²xとsec²xの関係を利用します。tan²x = sec²x – 1という恒等式が使えるため、積分式は次のように書き換えられます。
∮(sec²x – 1) * sec²x dx = ∮(sec⁴x – sec²x) dx
これを個別に積分すると、sec⁴xの積分とsec²xの積分が得られます。それぞれの積分結果を計算することで、1つ目の積分が求められます。
2つ目の積分の計算
次に、2つ目の積分「∮(1/cos²x – 1)dx」を解きます。この式は、1/cos²xがsec²xであるため、次のように書き換えられます。
∮(sec²x – 1)dx
これも同様に、sec²xの積分を行い、1の積分を引く形で計算が進みます。最終的に、sec²xの積分はtanxとなります。
計算結果の合成
1つ目と2つ目の積分を合わせて計算した結果、「1/3tan²x – tanx + x + C」という形になります。
ここで「(tanx)’」が消える理由についてですが、実は積分を行う過程で、tanxの導関数であるsec²xが使われており、その後の積分計算によって、tanxとその導関数に関連する部分が適切に統合されるため、式の最終的な形では「(tanx)’」という項は直接現れません。
まとめ
この積分問題では、tan²x(tanx)’dxと(1/cos²x – 1)dxという2つの積分を解くことで、最終的に1/3tan²x – tanx + x + Cという結果が得られます。重要なのは、tanxの導関数(sec²x)が計算中にうまく活用され、式全体が簡単にまとまる点です。これにより、「(tanx)’」が最終結果に現れない理由が明確になります。
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