方程式における両辺に変数をかけるルールとその注意点

方程式を解く際に、両辺に変数をかけることが許される場合と許されない場合があります。今回は、x-1/x=0 のような分数が含まれる方程式と、x-1=0 のような単純な方程式における違いについて解説します。

方程式を解くときの基本的なルール

方程式を解くときに両辺に変数をかけることは、通常は合法ですが、注意が必要です。特に変数がゼロになる場合、その操作が正当でない場合があります。分数が含まれる方程式で、分母がゼロになるとき、両辺に変数をかけると解が誤ってしまうことがあります。

例えば、x-1/x=0 の場合、両辺にxをかけて分母を払うことで、誤った解を避けることができます。この場合、xがゼロでない限り、変数をかけても問題はありません。しかし、x=0の場合には計算が成立しないため、特別な注意が必要です。

一方、x-1=0 のような単純な方程式では、両辺にxをかけると不正確な結果を生む可能性があります。例えば、x(x-1)=0 のようになり、x=0という余分な解が導かれることがあります。このような場合、x=0を解として受け入れてはいけません。元々の方程式においてx=0が成り立たないからです。

分母を払う場合に限り、xがゼロでない限り、変数をかけることができます。これは、元々の方程式の両辺に同じ値をかけることで、元の方程式と同じ解を持つ新しい方程式に変換されるからです。ただし、x=0の場合にはその操作が無効となります。

方程式を解く際に両辺に変数をかけることは、分母を払う場合には有効ですが、変数がゼロでないことを確認することが重要です。特にゼロが含まれる場合、計算結果が誤ってしまうことがあるため、注意深く処理を行う必要があります。