今回は、数Ⅲの問題「y = log(x) / x² の極値を求める」という問題に関して、極大値の求め方とその値が1/eでなく1/2eである理由について解説します。
問題の確認と最初の解法
問題では、y = log(x) / x² の極値を求めるという内容です。まず、x=√eで極大値をとることまでは正解されていますが、極大値の値が1/2eであることに気づいていないようです。解法を進める前に、まずyの式を微分して極値を求める方法を確認します。
y = log(x) / x² の微分
y = log(x) / x² を微分するためには、商の微分法則を使います。商の微分法則は次のように表せます。
f(x) = g(x) / h(x) の場合、f'(x) = [h(x)g'(x) – g(x)h'(x)] / [h(x)]² です。
この法則をy = log(x) / x²に適用すると、微分後の式は次のようになります。
y’ = (x² * 1/x – log(x) * 2x) / (x⁴)
これをさらに簡単にすると、y’ = (x – 2x log(x)) / x³ となります。
極値の求め方
次に、y’ = 0 の場合を解きます。つまり、x – 2x log(x) = 0 という式を解きます。
x(1 – 2 log(x)) = 0 となるので、x = 0 または log(x) = 1/2 です。
log(x) = 1/2 の場合、x = e^(1/2) = √e となります。ここでx = √eが極大値を取る点であることがわかります。
極大値の値の確認
x = √e のときのyの値を計算してみましょう。y = log(x) / x² にx = √eを代入します。
y = log(√e) / (√e)² = (1/2) / e = 1 / 2e
したがって、極大値は1/2e となります。質問者が求めた1/eではなく、1/2eになる理由は、微分を適切に行った結果として、√e の位置で最大値を取るためです。
まとめ
y = log(x) / x² の極大値を求める問題では、x = √e のときに極大値を取ることがわかり、その値は1/2eであることが確認できました。質問者の誤解は、微分を正しく行うことで解消され、最終的に正しい答えが導き出されました。
コメント