この問題は、3次元座標空間における幾何学的な問題で、点A、B、Cからなる直線ABに垂直な平面や、直線ABに垂直な平面上にある点D、Eを求める問題です。以下では、順を追って解法を解説します。
問題設定
まず、問題で与えられた座標は以下の通りです。
- A(1, 0, -1)
- B(6, 5, 4)
- C(5, 1, 3)
問題のポイントは、点Cから直線ABに下ろした垂線の足である点Hの座標を求めること、そしてその後に正三角形の重心を求めることです。
1. 点Cから直線ABに下ろした垂線を求める
点Cから直線ABに下ろした垂線をCHとしたとき、点Hの座標を求める方法を説明します。この場合、直線ABのベクトルと点Cからのベクトルを使って計算を行います。
直線ABの方向ベクトルは、B – A = (5, 5, 5) です。点Cから直線ABに垂直なベクトルを求めるためには、点Cと直線ABのベクトルが直交する条件を使います。具体的には、ベクトル(C – A)とベクトル(AB)の内積が0になることを利用します。
2. 正三角形CDEの2点D、Eの座標を求める
点Hを通り、直線ABに垂直な平面上に2点D、Eがあり、△CDEがHを重心とする正三角形であることが与えられています。この問題は、点Hを重心とした正三角形の条件を使ってD、Eの座標を求めます。
まず、重心の公式を使います。重心の座標は、3点の座標の平均として求めることができます。HはC、D、Eの重心なので、次のような関係を使います。
(C + D + E) / 3 = H
これを使って、DとEの座標を求めます。
3. 点Aから平面BDEに下ろした垂線の足を求める
次に、点Aから平面BDEに下ろした垂線を求める方法について解説します。まず、平面BDEの方程式を求め、点Aからその平面に下ろした垂線の足を求めます。
平面BDEの方程式は、点B、D、Eを通る平面の方程式として、これらの点を使って法線ベクトルを求めます。その後、点Aから平面BDEに下ろした垂線を求めるために、垂直なベクトルを使います。
まとめ
この問題を通して、3次元座標空間における直線や平面、垂線の計算方法や、重心の公式を使った正三角形の求め方を学ぶことができました。それぞれの計算を順を追って行うことで、問題を解決することができます。
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