今回は、ドーナツ状の道の面積計算について解説します。この問題は、中学3年生の数学で出題されることがあるテーマで、特に面積計算の公式や証明について理解が求められます。ここでは、四角形パターンにおける面積の求め方を詳しく説明します。
問題の設定と基本的な情報
問題では、ドーナツ状の道に関して、道の面積Sが与えられ、道幅がa、道の真ん中の長さがℓ、そして真ん中の1辺の長さがqという設定です。道の形は四角形と円形の2つのパターンに分かれており、ここでは四角形パターンについて考えます。
面積の式S＝(q+2a)² – q²
四角形パターンの面積は、S＝(q+2a)² – q²という式で表されます。この式は、外側の四角形の面積から内側の四角形の面積を引いたものです。具体的には、(q+2a)²は外側の四角形の面積、q²は内側の四角形の面積を表しています。式を展開すると、S＝4aq + 4a²となります。
道の真ん中の線ℓ＝4(a+q)の導出
質問にあった、道の真ん中の線ℓ＝4(a+q)という式はどのように導かれるのでしょうか。ℓは、道の幅がaである四角形の周囲の長さに相当します。外側の四角形の1辺の長さは(q+2a)ですが、そのうち2辺を内側の四角形の1辺の長さqを差し引いた長さがℓになります。このため、ℓ＝4(a+q)と計算できます。
なぜ4が出てくるのか
なぜ4が出てくるのかについて解説します。ℓ＝4(a+q)の式で4が出てくるのは、四角形の周囲の長さが4辺で構成されているからです。四角形の外周を求める際に、4つの辺を合計する必要があるため、ℓの式には4が含まれます。これにより、四角形の周囲の長さが求められ、面積の計算が完成します。
まとめ
ドーナツ状の道の面積計算では、四角形パターンにおいて面積Sを求める公式や、道の真ん中の長さℓ＝4(a+q)の導出について理解することが重要です。式の展開や周囲の長さの計算における4の意味をしっかり理解することで、この問題を正確に解くことができます。数学の基本的な考え方を押さえつつ、実際に計算してみましょう。
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